Ejemplo de Programacion Lineal - Método de la M Grande
Datos del Problema
Se requiere Minimizar el siguiente problema:
- Función Objetivo
- Z = -3X1 + 4X2
- Sujeto a las siguientes restricciones
- X1 + X2 ≤ 4
- 2X1 + 3X2 ≥ 18
X1, X2 ≥ 0
- Enunciado Original
- Ejercicio no factible
Solución
Para resolver el problema se realizarán las iteraciones del método simplex hasta encontrar la solución óptima.
A continuación se adecuará el problema al modelo estándar de programación lineal, agregando las variables de holgura, exceso y/o artificiales en cada una de las restricciones y convirtiendo las inecuaciones en igualdades:
- Restricción 1: Tiene signo “≤” (menor igual), por lo tanto se agregará la variable de holgura S1. Esta variable se ubicará en la base en la matriz inicial.
- Restricción 2: Tiene signo “≥” (mayor igual), por lo tanto se restará la variable de exceso S2 y se sumará la variable artificial A1. En la matriz inicial, A1 estará en la base.
Dado que el problema tiene variables artificiales, se utilizará el método de la M grande. Como el problema es de minimización, se sumarán las variables artificiales a la función objetivo multiplicadas por un número muy grande (representado por la letra M) de esta forma el algoritmo simplex las penalizará y eliminará de la base.
Ahora mostraremos el problema en la forma estándar. Se colocará el coeficiente 0 (cero) donde corresponda para crear nuestra matriz inicial:
Función Objetivo:
Minimizar Z = -3X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 + MA1
Sujeto a:
- X1 + X2 + S1 + 0S2 + 0A1 = 4
- 2X1 + 3X2 + 0S1 - S2 + A1 = 18
Matriz Inicial
Utilizaremos los coeficientes de las ecuaciones para elaborar nuestra primera tabla:
Tabla 1 | Cj | -3 | 4 | 0 | 0 | M | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cb | Base | X1 | X2 | S1 | S2 | A1 | R |
0 | S1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 4 |
M | A1 | 2 | 3 | 0 | -1 | 1 | 18 |
Z | 2M + 3 | 3M − 4 | 0 | -M | 0 | 18M |
a) Cálculo de Vector de Costes Reducidos (Z):
Los valores registrados en la fila Z se obtuvieron de la siguiente forma:
- Z1 = (Cb,1×X1,1) + (Cb,2×X1,2) - Cj,1 = (0×1) + (M×2) - (-3) = 2M + 3
- Z2 = (Cb,1×X2,1) + (Cb,2×X2,2) - Cj,2 = (0×1) + (M×3) - (4) = 3M − 4
- Z3 = (Cb,1×S1,1) + (Cb,2×S1,2) - Cj,3 = (0×1) + (M×0) - (0) = 0
- Z4 = (Cb,1×S2,1) + (Cb,2×S2,2) - Cj,4 = (0×0) + (M×-1) - (0) = -M
- Z5 = (Cb,1×A1,1) + (Cb,2×A1,2) - Cj,5 = (0×0) + (M×1) - (M) = 0
- Z6 = (Cb,1×R1) + (Cb,2×R2) = (0×4) + (M×18) = 18M
b) Condición de Optimalidad (Variable Entrante):
En el vector de costes reducidos (Z) tenemos valores positivos, por lo que debemos seleccionar el mayor valor para la columna pivote (minimización).
En el vector Z (excluyendo el último valor), tenemos los siguientes números: [2M + 3, 3M − 4, 0, -M, 0]. El mayor valor es = 3M − 4 que corresponde a la variable X2. Esta variable ingresará a la base y sus valores en la tabla conformarán nuestra columna pivote.
Nota: Para comprobar el valor elegido, basta con reemplazar la variable M por un número grande (p. ej. M = 1000000) en el vector de costes reducidos.
d) Condición de Factibilidad:
Se verificará la condición de factibilidad, dividiendo los valores de la columna R entre la columna pivote X2. Para procesar la división, el denominador debe ser estrictamente positivo (Si es cero o negativo se colocará N/A = No aplica). El menor valor definirá la variable que saldrá de la base:
- Fila S1 → R1 / X2,1 = 4 / 1 = 4 (Menor Valor)
- Fila A1 → R2 / X2,2 = 18 / 3 = 6
El menor valor corresponde a la fila de S1. Esta variable saldrá de la base. El elemento pivote corresponde al valor que cruza la columna X2 y la fila S1 = 1.
Ingresa la variable X2 y sale de la base la variable S1. El elemento pivote es 1
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